まず,ある箱を用意します.
その体積を,V,とします.
その中には分子が,N個,入っています.
体積,Vの箱の中に,小さいスペース,v,を考えましょう.
その中には,分子が,n個,入っています.
完全に分子の分布がランダムだとすると,vの大きさのVに対する比は,
\(\Large P = \frac{v}{V} \)
となります.0<P<1ですね.
スペース,v,に含まれている分子の数の平均は,
\(\Large <n> = N \cdot P \)
となります.
これは,
平均n個がスペースvにPの確率で存在し,
それ以外の分子が,v以外の部分に存在する
ということになります.
n個と(N-n)個を二つのスペースに分割する場合の数は,分子はおのおの区別できませんので,その場合の値は,二項分布となり,
\(\Large W_n = _N C_n \cdot P^n \cdot (1-P)^{N-n} \)
となります.変形すると,
\(\Large \begin{eqnarray} W_n &=& _N C_n \cdot P^n \cdot (1-P)^{N-n} \\
&=& \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-n+1)}{n!} \left( \frac{<n>}{N} \right)^n \cdot \left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{N-n} \\
\end{eqnarray} \)
さらに変形すると,
\(\Large W_n = \frac{1}{n!} \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-n+1)}{N^n} \cdot <n>^n \cdot \left( 1 - \frac{<n>}{N} \right)^N \cdot \left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{-n} \)
となり,
\(\Large W_n = \frac{1}{n!} \cdot 1 \cdot \left( 1-\frac{1}{N} \right) \cdot \left( 1-\frac{2}{N} \right) \cdot \left( 1-\frac{n-1}{N} \right) \cdot <n>^n \cdot \left( 1 - \frac{<n>}{N} \right)^N \cdot \left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{-n} \)
ここで,Nを非常に大きい数としますと,
\(\Large W_n = \frac{1}{n!} \cdot \color {blue}{1 \cdot \left( 1-\frac{1}{N} \right) \cdot \left( 1-\frac{2}{N} \right) \cdot \left( 1-\frac{n-1}{N} \right)} \cdot <n>^n \cdot \left( 1 - \frac{<n>}{N} \right)^N \cdot \color {blue}{\left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{-n}} \)
青色の部分が,1,となってしまいます.
特に注意してほしいのは,
\(\Large \color {blue}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{-n} = 1} \)
となりますが,
\(\Large \color {back}{\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 1- \frac{<n>}{N} \right ) ^{N}} \neq 1\)
となることです.
さらに,公式,
\(\Large \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 1- \frac{x}{N} \right ) ^{N} = e^{-x}\)
を使って,まとめると,
\(\Large \begin{eqnarray} W_n &=& \frac{1}{n!} \cdot <n>^n \cdot e^{-<n>} \\
&=&
\frac{<n>^m}{n!} \cdot e^{-<n>} \\
\end{eqnarray} \)
となります.
これが,ポアッソン分布です.
では具体的な数値を入れてみましょう.