順列，組み合わせ

高校で習ったかと思いますが，順列，組み合わせについて説明します．

・順列

N個の中から，ｎ個を選ぶ場合の数で，並べ方を考慮する場合です．

例えば，

　①，②，③，④，⑤

という5つの玉があった場合に，3つ選ぶ場合の数を考えます．

第一回目：

　5つのうちからランダムに選ぶので，その場合の数は５

例えば，

　③

第二回目：

　③はもう選んだので，残りの①，②，④，⑤の4つからランダムに選ぶので，その場合の数は４

例えば，

　④

第三回目：

　③，④は選んだので，残りの①，②，⑤の3つからランダムに選ぶので，その場合の数は3

例えば，

　①

つまり，①，③，④を選び，

\( \Large _5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60 \)

書き直すと，

\( \Large _5 P_3 = \frac{5!}{2!} \)

N個の中から，ｎ個を選ぶ場合の数は，

\( \Large \displaystyle _N P_n = \frac{N!}{(N-n)!} \)

となります．

・組み合わせ

N個の中から，ｎ個を選ぶ場合の数で，並べ方を考慮しない場合です．

上の場合には，①，③，④を選びましたが，

①，③，④

①，④，③

③，④，①

③，①，④

④，③，①

④，①，③

つまり，n!，通りあるので，

\( \Large _5 C_3 =\frac{_5 P_3}{3!} = \frac{5!}{2! 3!} \)

つまり，

N個の中から，ｎ個を選ぶ場合の数は，

\( \Large \displaystyle _N C_n = \frac{N!}{(N-n)!n!} \)

となります．

・組み合わせ，の公式

・\( \Large \displaystyle _N C_n = _N C_{N-n} \)

\( \Large \displaystyle _N C_{N-n} = \frac{N!}{(N-n)! \{ N-(N-n)! \}}\)

\( \Large \displaystyle = \frac{N!}{(N-n)! n! }\)

\( \Large \displaystyle = _N C_n \)

・\( \Large \displaystyle _N C_n = _{N-1} C_n + _{N-1} C_{n-1}\)

\( \Large \displaystyle _{N-1} C_n + _{N-1} C_{n-1} \)

\( \Large \displaystyle = \frac{(N-1)!}{(N-1-n)! n! } + \frac{(N-1)!}{( \{N-1 \} -\{ n-1 \})! (n-1)! }\)

\( \Large \displaystyle = \frac{(N-1)!}{(N-n-1)! n! } + \frac{(N-1)!}{( N- n)! (n-1)! }\)

\( \Large \displaystyle = \frac{(N-1)!}{(N-n-1)! \ n (n-1)! } + \frac{(N-1)!}{(N-n) (N-n-1)! (n-1)! }\)

\( \Large \displaystyle = \frac{(N-1)!}{(N-n-1)! (n-1)! } \left[ \frac{1}{n} + \frac{1}{N-n} \right]\)

\( \Large \displaystyle = \frac{(N-1)!}{(N-n-1)! (n-1)! } \frac{N}{n ( N-n)} \)

\( \Large \displaystyle = \frac{N!}{(N-n)! n! } \)

\( \Large \displaystyle = _N C_n \)