マン・ホイットニーのU検定
マン・ホイットニーのU検定，を検討してきます．
私の理解では，
自分たちのグループはそれぞれ相手に対してどのぐらい勝っているか？
となります．
まずは一番簡単なケースを考えていきましょう．〇と×が以下の順位になった場合を考えます．
| １ | ２ | ３ | ４ |
| 〇 | × | 〇 | × |
優った数は，U，という記号となり，
〇は×に対して，２，１ずつ勝っているので合計は３
×は丸に対して，１つ優っているので，合計は１
順位の合計は，R，という記号となり，
〇：1 + 3 = 4
×：2＋ 4 = 6
となります．これらの関係は，
\(\Large \displaystyle U_i = n_1 n_2 + \frac{n_i (n_i + 1)}{2} -R_i \)
となりますので，
\(\Large \displaystyle U_O = n_A n_B + \frac{n_A (n_A + 1)}{2} -R_A = 2 \times 2 + \frac{2 (2+1)}{2} - 4 = 3 \)
\(\Large \displaystyle U_{\times} = n_A n_B + \frac{n_B (n_B + 1)}{2} -R_B = 2 \times 2 + \frac{2 (2+1)}{2} - 6 = 1 \)
と一致することがわかります．
・データ数が同じ場合
もうすこし複雑は例を，こちらのサイトのデータをすこし改変させて利用させていただきました．
マン・ホイットニーのU検定の利点は，順位で検定するので，素点が変化しても順位が変化しない限り結果は同じになります．
| No. | A | B |
| 1 | 27 | 30 |
| 2 | 33 | 34 |
| 3 | 24 | 37 |
| 4 | 22 | 28 |
| 5 | 29 | 32 |
この結果を全体に対して順位を付与します．
| No. | A | B | ||
| 順位 | 順位 | |||
| 1 | 27 | 3 | 30 | 6 |
| 2 | 33 | 8 | 34 | 9 |
| 3 | 24 | 2 | 37 | 10 |
| 4 | 22 | 1 | 28 | 4 |
| 5 | 29 | 5 | 32 | 7 |
| 合計 | 19 | 36 |
順位で並べ替えていきます．そして，A，Bがそれぞれいくつ優っているかを計算していきます．
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | Win |
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | 5 |
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | 5 |
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | 5 |
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | 4 |
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | 2 |
| Sum_win | 21 | |||||||||
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | 2 |
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | 1 |
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | 1 |
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | 0 |
| A | A | A | B | A | B | B | A | B | B | 0 |
| Sum_win | 4 |
同様に，
\(\Large \displaystyle U_A = n_1 n_2 + \frac{n_1 (n_1 + 1)}{2} -R_1 = 5 \times 5 + \frac{5 (5+1)}{2} - 19 = 21 \)
\(\Large \displaystyle U_B = n_1 n_2 + \frac{n_2 (n_2 + 1)}{2} -R_2 = 5 \times 5 + \frac{5 (5+1)}{2} - 36 = 4 \)
と一致することがわかります．
・データ数が異なる場合
上記の例は，データ数が同じ場合でしたが，データ数が異なる場合も検討してきましょう．
上記のデータからBの5番目のデータを削除します．
| No. | A | B |
| 1 | 27 | 30 |
| 2 | 33 | 34 |
| 3 | 24 | 37 |
| 4 | 22 | 28 |
| 5 | 29 |
この結果を全体に対して順位を付与します．
| No. | A | B | ||
| 順位 | 順位 | |||
| 1 | 27 | 3 | 30 | 6 |
| 2 | 33 | 7 | 34 | 8 |
| 3 | 24 | 2 | 37 | 9 |
| 4 | 22 | 1 | 28 | 4 |
| 5 | 29 | 5 | ||
| 合計 | 18 | 27 |
順位で並べ替えていきます．そして，A，Bがそれぞれいくつ優っているかを計算していきます．
| A | A | A | B | A | B | A | B | B | Win |
| A | A | A | B | A | B | A | B | B | 4 |
| A | A | A | B | A | B | A | B | B | 4 |
| A | A | A | B | A | B | A | B | B | 4 |
| A | A | A | B | A | B | A | B | B | 3 |
| A | A | A | B | A | B | A | B | B | 2 |
| Sum_win | 17 | ||||||||
| A | A | A | B | A | B | A | B | B | 2 |
| A | A | A | B | A | B | A | B | B | 1 |
| A | A | A | B | A | B | A | B | B | 0 |
| A | A | A | B | A | B | A | B | B | 0 |
| Sum_win | 3 |
同様の計算をすると，
\(\Large \displaystyle U_A = n_1 n_2 + \frac{n_1 (n_1 + 1)}{2} -R_1 = 5 \times 4 + \frac{5 (5+1)}{2} - 18 = 17 \)
\(\Large \displaystyle U_B = n_1 n_2 + \frac{n_2 (n_2 + 1)}{2} -R_2 = 5 \times 4 + \frac{4 (4+1)}{2} - 27 = 3 \)
と一致することがわかります．
次に，マン・ホイットニーのU検定の期待値と分散値，を検討してきます．