Non_parametric

マン・ホイットニーのU検定 - 期待値を法則性から見出す

・法則性から見出す方法

n=2, m=2,の場合を考えていきましょう

nの入る場所はn+mですが，最後に入ってもカウントされないので，n+m-1となります．

ｎの入る場所を決めて，その際に，n, m, が入る確率を求めて行きましょう．

とクリーム色の場所がｍの入る確率で，その総和が，優っている数の確率，となります．

nが2の場合には，1の場所にはn,m，それぞれが入る可能性がありますので，それぞれの可能性を考えてみました．

ｎが3の場合には，4の場所にｍが入るかどうかだけなので，１，２は関係なくなります．

n=3, m=2，の場合は，

n=3, m=3，の場合には，

と法則性が見えてきました．まとめると，

このように，分子はｍずつ減っていき，n+m-1回続くことになります．したがって，

\(\Large \displaystyle U= \frac{n}{n+m} \frac{1}{n+m-1} \cdot \sum_{i=1}^{n+m-1} \left\{ m(n+m)-m \cdot i \right\} 　\)

\(\Large \displaystyle U= \frac{n}{n+m} \frac{1}{n+m-1} \left[ m(n+m)(n+m-1) - m \sum_{i=1}^{n+m-1} i \right]　\)

\(\Large \displaystyle U= \frac{n}{n+m} \frac{1}{n+m-1} \left[ m(n+m)(n+m-1) - m \frac{(n+m-1)(n+m)}{2} \right]　\)

\(\Large \displaystyle U= \frac{n}{n+m} \frac{1}{n+m-1} \frac{ m(n+m)(n+m-1) }{2}　\)

\(\Large \displaystyle U= \frac{nm}{2} 　\)

となりました．