ウィルコクソンの順位和検定，小さい方？大きい方？

なぜ，期待値，分散値が一致し，ｚ値は符号が逆転し，絶対値が同じ値となるかを検討してみました．

まず，総和がｎで，n_A=n_B，の場合を考えていきます．

期待値は，総和の半分となるので，

\(\Large \displaystyle S= \frac{n(n+1)}{2}　\)

n=10, n_A=5, n_B=5，の場合，

\(\Large \displaystyle \frac{1}{2} S= \frac{1}{2} \frac{10(10+1)}{2} =27.5　\)

と全ページの値となります．

したがって，

\(\Large \displaystyle S= W_A + W_B　\)

となります．ｚ値の場合，分散値の計算はＡもＢも関係なく同じ値となるので，分子のみ考えていきます．

期待値は上記のように等しいので，

\(\Large \displaystyle W_A - E = W_A - \frac{1}{2} S = (S - W_B) - \frac{1}{2} S = - W_B - \frac{1}{2} S\)

つまり，

\(\Large \displaystyle W_A = - W_B \)

となり，

ｚ値は符号が逆転し，絶対値が同じ値となります．

次に，総和がｎで，n_A≠n_B，の場合を考えていきます．

\(\Large \displaystyle S= \frac{n(n+1)}{2} = W_A + W_B \)

\(\Large \displaystyle E(W_A)= \frac{n_A ( n_A + n_B +1)}{2} = \frac{n_A ( n +1)}{2}　\)

\(\Large \displaystyle E(W_B)= \frac{n_B ( n_A + n_B +1)}{2} = \frac{n_B ( n +1)}{2}　\)

\(\Large \displaystyle \{W_A - E(W_A)\}+ \{W_B - E(W_B)\} \)

\(\Large \displaystyle = \{W_A - \frac{n_A ( n +1)}{2}\} + \{W_B - \frac{n_B ( n +1)}{2}\}\)

\(\Large \displaystyle = W_A + W_B - \left( \frac{n_A ( n +1)}{2} + \frac{n_B ( n +1)}{2} \right) \)

\(\Large \displaystyle = W_A + W_B - \frac{(n_A + n_B)( n +1)}{2} \)

\(\Large \displaystyle = W_A + W_B - \frac{n( n +1)}{2} \)

\(\Large \displaystyle = S - S = 0 \)

となるので，

\(\Large \displaystyle \{W_A - E(W_A)\}+ \{W_B - E(W_B)\} = 0 \)

\(\Large \displaystyle W_A - E(W_A) = - \{W_B - E(W_B)\} \)

と数が異なる場合も符号が逆転するだけとなります．