マクローリン展開-05

次は，e^ix，について考えていきましょう．

f(x)=e^ix，とすると，

\(\Large \displaystyle f(x) = e^{ix} \hspace{75pt} f(0) = 1 \)

\(\Large \displaystyle f'(x) =i \cdot e^{ix} \hspace{57pt} f'(0) = i \)

\(\Large \displaystyle f''(x) = - e^{ix} \hspace{57pt} f''(0) = - 1 \)

\(\Large \displaystyle f'''(x) =- i \cdot e^{ix} \hspace{40pt} f'(0) = - i \)

\(\Large \displaystyle f''''(x) = e^{ix} \hspace{62pt} f''''(0) = 1 \)

のように，4回周期で値が変化します．従って，

\(\Large \displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^i \)

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{1} \cdot 1 + \frac{i}{1} \cdot x - \frac{1}{2 \cdot 1} \cdot x^2 - \frac{i}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^3 + \frac{1}{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^4
+ \frac{i}{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^5 \cdots \)

となります．

次は，
(1+x)^a
について考えていきましょう．