ラプラス変換

ラブラス変換，じつは．．．．いままで避けて通ってきた分野です．

いろんな公式がいっぱいあるし，何に使っていけばいいか，どういう意味があるかがわからなかったからです．

しかし，改めて見直してみると，いろいろ面白く，結構便利ではないかと感じ，勉強し直しました．

減衰する指数関数との積で積分するので，
　　どんな（多分）関数でも時間無限大で０に収束する＝積分が成り立つ
という意味を持つのかな？と感じました．

また，伝達関数の計算によく使われますが，
　単に微分方程式を解くのに役立つツール
　　　　or
　指数関数の積で積分する，ということに意味がある
のかはまだ私は理解していません．．．．．

公式などについては，こちらのサイト，を参考にしました，ありがとうございました

まずは，公式，定数倍などから

・公式

\( \Large F(s) =\displaystyle \int_{0}^{ \infty } f(t) \ e^{-st} dt =　\mathfrak{ L} \{ f(t) \}\)

つまり，減衰する指数関数となるので，減衰曲線となります．

・線形性_定数倍

\( \Large\mathfrak{ L} \{ a \ f(t) \} =\displaystyle \int_{0}^{ \infty } a \ f(t) \ e^{-st} dt
=a \displaystyle \int_{0}^{ \infty } f(t) \ e^{-st} dt \)

\( \Large=a \ \mathfrak{ L} \{ \ f(t) \} \)

・線形性_定数倍の和

\( \Large\mathfrak{ L} \{ a \ f_1(t) + b \ f_2(t) \} =\displaystyle \int_{0}^{ \infty } \left[a \ f_1(t)+ b \ f_2(t) \right] \ e^{-st } dt\)

\( \Large =a \displaystyle \int_{0}^{ \infty } f_1 (t) \ e^{-st} dt + b \displaystyle \int_{0}^{ \infty } f_2 (t) \ e^{-st} dt \)

\( \Large=a \ \mathfrak{ L} \{ \ f_1(t) \} + b \ \mathfrak{ L} \{ \ f_2(t) \} \)

・定数

\( \Large f(t) = K \)

\( \Large\mathfrak{ L} \{ f(t) \} = \mathfrak{ L} \{ K \}\)

\( \Large=\displaystyle \int_{0}^{ \infty } K \ e^{-st} dt \)

\( \Large= K \ \left[ - \displaystyle \frac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{\infty} \)

\( \Large= \displaystyle \frac{K}{s} \)

\( \Large \color{red}{\mathfrak{ L} \{ K \} = \displaystyle \frac{K}{s}}\)

次ページに，指数関数のラブラス変換を考えていきます．