この，95％とは，たぶんですが，そんなに意味がない値と思います．まあキリがいいからということでしょう．
実際区間推定では99％の場合もありますし．
ここでは，分散値σ2，もしくは分散値の平方根（標準偏差）σとの関係を考えていきましょう
母集団の平均μ，分散σ2の場合，その集団の分布は，
\(\Large \displaystyle p(x) = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \sigma^2}} exp \left[ - \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right]\)
ここで単純に，平均は０，μ=0，として考えていきます．
\(\Large \displaystyle p(x) = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \sigma^2}} exp \left[ - \frac{x ^2}{2 \sigma^2} \right]\)
左右対称なので，片側だけを考え，2倍すればその範囲の面積を計算できます．
\(\Large \displaystyle p(a) = \int_0^a \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \sigma^2}} exp \left[ - \frac{x ^2}{2 \sigma^2} \right] dx \)
変数変換を，
\(\Large \frac{x^2}{ 2 \sigma^2} \equiv t^2 \)
とします．
\(\Large \frac{x}{ \sqrt{ 2 \sigma^2}} = t \)
\(\Large x = \sqrt{2 \sigma^2} t \)
\(\Large dx = \sqrt{2 \sigma^2} \ dt \)
となるので，\(\Large \bar{x} \)の範囲からｔの範囲を計算すると，
\(\Large 0 \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} x \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} a\)
\(\Large 0 \hspace{13 pt} \rightarrow \hspace{11 pt} t \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{8 pt} \frac{a}{ \sqrt{2 \sigma^2}} \)
したがって，
\(\Large \displaystyle \int_0^a \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \sigma^2}} exp \left[ - \frac{x ^2}{2 \sigma^2} \right] dx
= \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \sigma^2}} \sqrt{2 \sigma^2} \int_0^{\frac{a}{ \sqrt{2 \sigma^2}}} exp \left[ - t^2 \right] dt
= \frac{1}{\sqrt{ \pi}} \int_0^{\frac{a}{ \sqrt{2 \sigma^2}}} exp \left[ - t^2 \right] dt \)
となります． ここで，誤差関数，
\(\Large \displaystyle erf(x) = \frac{2}{\sqrt{ \pi }} \displaystyle \int_{0}^{x} exp \left[ - t^2 \right] \ dt \)
を利用すると，
\(\Large \displaystyle \int_{0}^{x} exp \left[ - t^2 \right] \ dt = \frac{\sqrt{ \pi }}{2} erf(x)\)
となります．したがって，
\(\Large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ \pi}} \int_0^{\frac{a}{ \sqrt{2 \sigma^2}}} exp \left[ - t^2 \right] dt
= \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \frac{\sqrt{ \pi }}{2} erf(\frac{a}{ \sqrt{2 \sigma^2}})
= \frac{1}{2} erf(\frac{a}{ \sqrt{2 \sigma^2}}) \)
2倍すると，
\(\Large \displaystyle = erf(\frac{a}{ \sqrt{2 \sigma^2}}) \)
となります．
・ a = σの場合
\(\Large \displaystyle erf(\frac{ \sigma}{ \sqrt{2 \sigma^2}}) = erf(\frac{1}{ \sqrt{2 }}) = 0.6827...\)
と約70%となります．
・ a = 2σの場合
\(\Large \displaystyle erf(\frac{ 2 \sigma}{ \sqrt{2 \sigma^2}}) = erf(\frac{2}{ \sqrt{2 }}) = 0.9545...\)
と約95%となります．
区間推定の95％とほぼ同じなので，2σの範囲ということになりますね．