最初の式，
\(\Large \displaystyle \int_{\mu - a}^{\mu + a} \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \frac{\sigma^2}{n}}} exp \left[ - \frac{(\bar{x} - \mu)^2}{2 \frac{\sigma^2}{n}} \right] \ dx = 0.95 \)
から，a，を求める計算を行っていきます．
変数変換を，
\(\Large \frac{(\bar{x} - \mu)^2}{ \color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}} \equiv t^2 \)
とします（分母に２が入っていることが異なります．
\(\Large \frac{\bar{x} - \mu}{ \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}}} = t \)
\(\Large \bar{x} = \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}} t + \mu \)
\(\Large d \bar{x} = \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}} \ dt \)
となるので，\(\Large \bar{x} \)の範囲からｔの範囲を計算すると，
\(\Large \mu -a \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} \bar{x} \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} \mu +a\)
\(\Large \frac{-a}{ \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}}} \hspace{17 pt} \rightarrow \hspace{13 pt} t \hspace{14 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} \frac{a}{ \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}}} \)
したがって，
\(\Large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \frac{\sigma^2}{n}}} \int_{\mu - a}^{\mu + a} exp \left[ - \frac{(\bar{x} - \mu)^2}{2 \frac{\sigma^2}{n}} \right] \ dx = 0.95 \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \frac{\sigma^2}{n}}} \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}} \displaystyle \int_{\frac{-a}{ \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}}}}^{\frac{a}{ \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - t^2 \right] \ dx = 0.95 \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \displaystyle \int_{\frac{-a}{ \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}}}}^{\frac{a}{ \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - t^2 \right] \ dx = 0.95 \)
となります．この分布は，左右対称なので，
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \displaystyle \int_{0}^{\frac{a}{ \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - t^2 \right] \ dx = \frac{0.95}{2} \)
となるｔを求めればいいことになります． ここで，誤差関数，
\(\Large \displaystyle erf(x) = \frac{2}{\sqrt{ \pi }} \displaystyle \int_{0}^{x} exp \left[ - w^2 \right] \ dw \)
を利用すると，
\(\Large \displaystyle \displaystyle \int_{0}^{x} exp \left[ - w^2 \right] \ dw = \frac{\sqrt{ \pi }}{2} erf(x)\)
となります．したがって，
\(\Large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \displaystyle \int_{0}^{\frac{a}{ \sqrt{\color{red}{2} \frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - t^2 \right] \ dx
= \frac{1}{\sqrt{ \pi }} \frac{\sqrt{ \pi }}{2} erf \left( \frac{a}{ \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}}} \right)
= \frac{0.95 }{2} \)
\(\Large \displaystyle erf \left( \frac{a}{ \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}}} \right) = 2 \frac{0.95 }{2} = 0.95 \)
を計算すればいいことになります．．逆関数を考えると，
\(\Large \displaystyle erf^{-1} (0.95) = \frac{a}{ \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}}} \)
\(\Large \displaystyle a = \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}} erf^{-1} (0.95) \)
\(\Large \displaystyle erf^{-1} (0.95) \)
は，ここ，で述べたように，
\(\Large \displaystyle \begin{eqnarray} ERFINV(x) &=& \frac{1}{\sqrt{2}} NORMSINV \left\{ \frac{1+x}{2} \right\} \\
&=& NORMINV
\left\{ \frac{1+x}{2}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\} \\
\end{eqnarray} \)
ですので，エクセルで計算すると，
\(\Large \displaystyle erf^{-1} (0.95) =1.3859 \)
となります．したがって，
\(\Large \displaystyle a = \sqrt{2 \frac{\sigma^2}{n}} erf^{-1} (0.95) = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \sqrt{2} \cdot 1.3859 = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \times 1.96\)
と1.96が出てきました．
行った作業は，同じ変数変換ですが，一回で済みます．ただ，標準正規分布を基本に考えていくとそちらの方が今後よろしいかと