そんな場合（母集団の平均がわからないのに，分散がわかっているなんて），はまずありえないのですが（普通は母平均も母分散もわからない），この計算が基本となります．
母集団の平均μ，分散σ2の場合，その集団の分布は，
\(\Large \displaystyle p(x) = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \sigma^2}} exp \left[ - \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right]\)
です．ｎ回施行した場合の平均値の分布は，さきの中心極限定理にあるように分散値が1/nとなりますので，
\(\Large \displaystyle p(\bar{x}) = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \frac{\sigma^2}{n}}} exp \left[ - \frac{(\bar{x} - \mu)^2}{2 \frac{\sigma^2}{n}} \right]\)
という正規分布になります．この正規分布の中で９５％の範囲に入っている範囲の値，が平均値からの母平均の推定となります
つまり，
\(\Large \displaystyle \int_{\mu - a}^{\mu + a} \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \frac{\sigma^2}{n}}} exp \left[ - \frac{(\bar{x} - \mu)^2}{2 \frac{\sigma^2}{n}} \right] \ dx = 0.95 \)
となる，a，を求めればいいことになります．
ここでの計算の王道は，標準化，することです．標準化とは，
\(\Large exp \left[ -\frac{(\bar{x} - \mu)^2}{2 \frac{\sigma^2}{n}} \right] \rightarrow exp \left[ - \frac{t^2}{2} \right] \)
と平均μ=0，分散σ2=1を指します．
計算から言うと，変数変換を，
\(\Large exp \left[ -\frac{(\bar{x} - \mu)^2}{2 \frac{\sigma^2}{n}} \right] \rightarrow exp \left[ - t^2 \right] \)
としたほうが簡単なのですが，この，標準化，という統計における中心的考えがありますので，計算を楽にする，というよりは，この王道に従うほうが後々スッキリしそうです．王道に従って，
\(\Large \frac{(\bar{x} - \mu)^2}{ \frac{\sigma^2}{n}} \equiv t^2 \)
とすれば，
\(\Large \frac{\bar{x} - \mu}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} = t \)
\(\Large \bar{x} = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} t + \mu \)
\(\Large d \bar{x} = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \ dt \)
となるので，\(\Large \bar{x} \)の範囲からｔの範囲を計算すると，
\(\Large \mu -a \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} \bar{x} \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} \mu +a\)
\(\Large \frac{-a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \hspace{17 pt} \rightarrow \hspace{13 pt} t \hspace{14 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} \frac{a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \)
したがって，
\(\Large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \frac{\sigma^2}{n}}} \int_{\mu - a}^{\mu + a} exp \left[ - \frac{(\bar{x} - \mu)^2}{2 \frac{\sigma^2}{n}} \right] \ dx = 0.95 \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \frac{\sigma^2}{n}}} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \displaystyle \int_{\frac{-a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}}^{\frac{a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - \frac{t^2}{2 } \right] \ dx = 0.95 \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi }} \displaystyle \int_{\frac{-a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}}^{\frac{a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}} exp \left[ - \frac{t^2}{2 } \right] \ dx = 0.95 \)
この分布は， 平均：０ 分散：１ の標準正規分布となります．
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi }} \displaystyle exp \left[ - \frac{t^2}{2 } \right] \)
この分布の95％を占める割合（左右対称）は，累積標準化正規分布関数が，0.975(1-0.05/2)の値を求めればいいので， エクセル関数では，
NORM.INV(0.975,0,1)= 1.969964...=1.96となります． もしくは，ここ，つまり，
\(\Large \displaystyle \pm \frac{ a}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} = \pm 1.96 \)
\(\Large \displaystyle a =1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \)
となります，\(\Large \bar{x} \)の範囲は，
\(\Large \mu -a \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} \bar{x} \hspace{12 pt} \rightarrow \hspace{12 pt} \mu +a\)
なので，
\(\Large \mu - 1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \hspace{12 pt}\leq \hspace{12 pt} \bar{x} \hspace{12 pt} \leq \hspace{12 pt} \mu +1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\)
\(\Large \bar{x} \), と \(\Large \mu \),を入れ替えると，
\(\Large \mu - 1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} - \mu - \bar{x} \hspace{12 pt}\leq \hspace{12 pt} \bar{x} - \mu - \bar{x} \hspace{12 pt} \leq \hspace{12 pt} \mu +1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}- \mu - \bar{x} \)
\(\Large - \bar{x} - 1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \hspace{12 pt}\leq \hspace{12 pt} - \mu \hspace{12 pt} \leq \hspace{12 pt} - \bar{x} +1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \)
-1を掛けると，
\(\Large \bar{x} + 1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \hspace{12 pt}\geq \hspace{12 pt} \mu \hspace{12 pt} \geq \hspace{12 pt} \bar{x} - 1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \)
左右を入れ替えると，
\(\Large \bar{x} - 1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \hspace{12 pt}\leq \hspace{12 pt} \mu \hspace{12 pt} \leq \hspace{12 pt} \bar{x} + 1.96 \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \)
もしくは，
\(\Large \displaystyle - 1.96 \hspace{12 pt}\leq \hspace{12 pt} \frac{\mu - \bar{x}}{ \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} \hspace{12 pt} \leq \hspace{12 pt} 1.96 \)
と母平均，μ，の範囲を推定できます．
さて，1.96，という値は，エクセル関数，もしくは表から求めましたが，きちんと計算（誤差関数を使いますが）できるはずです．
それは，ここ，に記載します．
また，95％という数字に関しての議論は，ここ，に議論します．
つぎに，母平均がわかっていなくて，母分散もわかっていない場合の区間推定，について検討していきましょう．
