結像-平行光,中心を通る光以外は?
ここ,で述べたように,基本的な結像原理は以下の通りです..
基本的には,
サンプルからレンズに平行な光線
サンプルからレンズの中心を通る光線
をもとに考えられてきました.
では,
サンプルから平行でも中心を通るわけでもない光線は?
どうなのでしょう?
上図の赤実線が赤点線の交点に交わるかですね.
では,ここで,赤い線を左に延ばしてみましょう.
すると,レンズの公式から,
\(\Large \frac{1}{P1} + \frac{1}{P2} = \frac{1}{f1} \)
が成り立ちます.それ以外にも,
\(\Large \frac{1}{S1} + \frac{1}{S2} = \frac{1}{f1} \)
\(\Large \frac{A}{P1-S1} = \frac{L}{P1} \)
\(\Large \frac{A}{S1} = \frac{B}{S2} \)
が成り立ちます.
問題は,この赤線がS2の位置での高さがBとなればいいのです.
S2の位置での高さを,x,とすると,
\(\Large \frac{x}{S2-P2} = \frac{L}{P2} \)
を解いて,x=B,となればいいのです.
Lを消去して,
\(\Large \frac{x}{S2-P2} = \frac{1}{P2} \frac{A \cdot P1}{P1-S1} \)
\(\Large \begin{align*} x &= \frac{S2-P2}{P1-S1} \frac{A \cdot P1}{P2} \\
&= \frac{S2-P2}{P1-S1} \frac{P1}{P2} \frac{S1}{S2} B \\
&= \frac{\frac{1}{P2}-\frac{1}{S2}}{\frac{1}{S1}-\frac{1}{P1}} B \end{align*} \)
となります.
二つのレンズの公式から,
\(\Large \frac{1}{S1} + \frac{1}{S2} = \frac{1}{P1} + \frac{1}{P2} \)
\(\Large \frac{1}{S2} - \frac{1}{P2} = \frac{1}{P1} - \frac{1}{S1} \)
となるので,先ほどの式の最初の分母が1となります.
従って,
\(\Large x = B \)
となり,無事,赤線が赤点線の交点と交わりました.
つまり,レンズのどの位置を通っても結像する位置は等しい,のです.