F検定_F分布の導出
F分布の導出に当たっては，こちら，こちら，こちら，こちら，を参考にさせていただきました，ありがとうございます．
まず，独立に，χ2(m1)，χ2(m2)に従う確率変数，W1, W2があるとき，
\( \Large \displaystyle F = \frac{ \frac{W_1}{m_1}}{ \frac{W_2}{m_2}} \)
が従う分布を，自由度(m1,m2)のF分布と呼び，F(m1,m2)と表します．
自由度mのカイ二乗分布の確率密度関数は，
\( \Large \displaystyle f(u) = \frac{ 1}{2^{\frac{m}{2}} \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} u^{ \frac{m}{2} -1 } exp \left( - \frac{u}{2} \right)\)
となりますので，χ2(m1)，χ2(m2)は，
\( \Large \displaystyle f(w_1) = \frac{ 1}{2^{\frac{m_1}{2}} \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right)} w_1^{ \frac{m_1}{2} -1 } exp \left( - \frac{w_1}{2} \right)\)
\( \Large \displaystyle g(w_2) = \frac{ 1}{2^{\frac{m_2}{2}} \Gamma \left( \frac{m_2}{2} \right)} w_2^{ \frac{m_2}{2} -1 } exp \left( - \frac{w_2}{2} \right)\)
これら二つの式が，
\( \Large \displaystyle F = \frac{ \frac{W_1}{m_1}}{ \frac{W_2}{m_2}} \)
の分子，分母になるわけですが，それぞれが独立であり，同時に起こる確率，同時確率密度関数，は独立の積となります．
\( \Large \displaystyle f_{W_1, W_2} (w_1, w_2) = f(w_1) \ g(w_2) \)
となります．
なぜ，割り算なのに掛け算を使って求めるの？
と，結構悩みましたが．．．．．後に出てくる，変数変換，ヤコビアン，にその答えがあったようです．．．．やっと気づきました，また後半で．．．．
\( \Large \displaystyle f_{W_1, W_2} (w_1, w_2) = f(w_1) \ g(w_2) \)
\( \Large \displaystyle = \left[ \frac{ 1}{2^{\frac{m_1}{2}} \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right)} w_1^{ \frac{m_1}{2} -1 } exp \left( - \frac{w_1}{2} \right) \right]
\left[ \frac{ 1}{2^{\frac{m_2}{2}} \Gamma \left( \frac{m_2}{2} \right)} w_2^{ \frac{m_2}{2} -1 } exp \left( - \frac{w_2}{2} \right) \right] \)
\( \Large \displaystyle = \frac{ 1}{2^{\frac{m_1+m_2}{2}} \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right) \Gamma \left( \frac{m_2}{2}\right)} w_1^{ \frac{m_1}{2} -1 } w_2^{ \frac{m_2}{2} -1 }exp \left( - \frac{w_1+w_2}{2} \right) \)
ここで，変数変換，
\( \Large \displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{ \frac{W_1}{m_1}}{ \frac{W_2}{m_2}} \\ y = w_2 \end{array} \right. \end{eqnarray} \iff
\) \( \Large \displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} w_1 = \frac{ m_1}{ m_2} yx\\ w_2 = y \end{array} \right. \end{eqnarray}
\)
を行います．この中で，
\( \Large \displaystyle x = \frac{ \frac{W_1}{m_1}}{ \frac{W_2}{m_2}} \)
が重要となってきます（私的には）．
これは，まさしく求めたい関数となります．変数変換で，ｘという変数を導入しましたので（割り算），このｘの変数の分布を計算できればＦの分布を求めることができます．
このヤコビアンは，
\(\Large \displaystyle J = det \begin{vmatrix} \frac{\partial w_1}{ \partial x} & \frac{\partial w_1}{ \partial y} \\ \frac{\partial w_2}{ \partial x} & \frac{\partial w_2}{ \partial y} \end{vmatrix} \)
\(\Large \displaystyle = det \begin{vmatrix} \frac{ m_1}{ m_2} y & \frac{m_1}{ m_2} x \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \)
\(\Large \displaystyle = \frac{ m_1}{ m_2} y \)
となりますので，このヤコビアンを使って変数変換すると，
\( \Large \displaystyle f_{X,Y} (x,y) = \frac{ 1}{2^{\frac{m_1+m_2}{2}} \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right) \Gamma
\left( \frac{m_2}{2}\right)} \left( \frac{ m_1}{ m_2} yx \right)^{ \frac{m_1}{2} -1 } y^{ \frac{m_2}{2} -1 }
exp \left( - \frac{\frac{ m_1}{ m_2} yx+y}{2} \right)
\frac{ m_1}{ m_2} y\)
\( \Large \displaystyle = \frac{ 1}{2^{\frac{m_1+m_2}{2}} \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right) \Gamma
\left( \frac{m_2}{2}\right)} \left( \frac{ m_1}{ m_2} \right)^{ \frac{m_1}{2} } x^{ \frac{m_1}{2} -1 } y^{ \frac{m_1 + m_2}{2} -1 }
\ exp \left\{ - \frac{y}{2} \left( \frac{ m_1}{ m_2} x+1 \right)\right\}
\)
となる．ｘが求めたい変数なので，ｙを全域で積分します．ｙの積分範囲は０～∞なので，
\( \Large \displaystyle f_X(x) = \int_0^{\infty} f_{X,Y} (x,y) dy \)
\( \Large \displaystyle = \int_0^{\infty}\frac{ 1}{2^{\frac{m_1+m_2}{2}} \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right) \Gamma
\left( \frac{m_2}{2}\right)} \left( \frac{ m_1}{ m_2} \right)^{ \frac{m_1}{2} } x^{ \frac{m_1}{2} -1 } y^{ \frac{m_1 + m_2}{2} -1 }
\ exp \left\{ - \frac{y}{2} \left( \frac{ m_1}{ m_2} x+1 \right)\right\}
dy \)
\( \Large \displaystyle = \frac{ 1}{2^{\frac{m_1+m_2}{2}} \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right) \Gamma
\left( \frac{m_2}{2}\right)} \left( \frac{ m_1}{ m_2} \right)^{ \frac{m_1}{2} } x^{ \frac{m_1}{2} -1 }
\cdot \int_0^{\infty} y^{ \frac{m_1 + m_2}{2} -1 }
\ exp \left\{ - \frac{y}{2} \left( \frac{ m_1}{ m_2} x+1 \right)\right\}
dy \)
を計算すればいいことになります．ここで，積分領域のみを計算します．，
\( \Large \displaystyle I = \int_0^{\infty} y^{ \frac{m_1 + m_2}{2} -1 }
\ exp \left\{ - \frac{y}{2} \left( \frac{ m_1}{ m_2} x+1 \right)\right\}
dy \)
ここで，変数変換で，
\( \Large \displaystyle t = \frac{y}{2} \left( \frac{ m_1}{ m_2} x+1 \right) = \frac{y}{2} \left( \frac{m_1 x + m_2}{m_2} \right) \)
とします，すると，
\( \Large \displaystyle y = \frac{2 m_2}{m_1 x + m_2} t \)
\( \Large \displaystyle dy = \frac{2 m_2}{m_1 x + m_2} dt \)
となります．積分範囲は変わりません．
\( \Large \displaystyle I = \int_0^{\infty} \left( \frac{2 m_2}{m_1 x + m_2} t\right)^{ \frac{m_1 + m_2}{2} -1 }
\ exp (-t)
\ \frac{2 m_2}{m_1 x + m_2} dt \)
\( \Large \displaystyle = \left( \frac{2 m_2}{m_1 x + m_2} \right)^{ \frac{m_1 + m_2}{2} } \int_0^{\infty} t^{ \frac{m_1 + m_2}{2} -1 }
\ exp (-t)
dt \)
となります，ガンマ関数は，
\( \Large \displaystyle \Gamma (z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} \ exp (-t) dt \)
ですので，
\( \Large \displaystyle I = \left( \frac{2 m_2}{m_1 x + m_2} \right)^{ \frac{m_1 + m_2}{2} } \Gamma \left( \frac{m_1 + m_2}{2} \right) \)
となります．元に戻すと，
\( \Large \displaystyle f_X(x) = \frac{ 1}{2^{\frac{m_1+m_2}{2}} \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right) \Gamma
\left( \frac{m_2}{2}\right)} \left( \frac{ m_1}{ m_2} \right)^{ \frac{m_1}{2} } x^{ \frac{m_1}{2} -1 }
\cdot \left( \frac{2 m_2}{m_1 x + m_2} \right)^{ \frac{m_1 + m_2}{2} } \Gamma \left( \frac{m_1 + m_2}{2} \right) \)
\( \Large \displaystyle = \frac{ \Gamma \left( \frac{m_1 + m_2}{2} \right)}{ \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right) \Gamma
\left( \frac{m_2}{2}\right)} \left( \frac{ m_1}{ m_2} \right)^{ \frac{m_1}{2} }
\left( \frac{ m_2}{m_1 x + m_2} \right)^{ \frac{m_1 + m_2}{2} } x^{ \frac{m_1}{2} -1 }\)
もしくは，
\( \Large \displaystyle = \frac{ \Gamma \left( \frac{m_1 + m_2}{2} \right)}{ \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right) \Gamma
\left( \frac{m_2}{2}\right)}
\frac{ m_1^{ \frac{m_1}{2} } }{ m_2^{ \frac{m_1}{2} } }
m_2^{ \frac{m_1 + m_2}{2} } \left( \frac{ 1}{m_1 x + m_2} \right)^{ \frac{m_1 + m_2}{2} }
x^{ \frac{m_1}{2} -1 }\)
\( \Large \displaystyle = \frac{ \Gamma \left( \frac{m_1 + m_2}{2} \right)}{ \Gamma \left( \frac{m_1}{2} \right) \Gamma
\left( \frac{m_2}{2}\right)}
m_1^{ \frac{m_1}{2} }
m_2^{ \frac{ m_2}{2} }
\left( \frac{ 1}{m_1 x + m_2} \right)^{ \frac{m_1 + m_2}{2} }
x^{ \frac{m_1}{2} -1 }\)
と書き換えることができます．
ここで，ベータ関数，
\(\Large \displaystyle B \left( \frac{m_1 }{2}, \frac{m_2 }{2}\right)
=
\frac{ \Gamma \left( \frac{m_1 }{2} \right) \Gamma \left( \frac{ m_2 }{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{m_1 +m_2 }{2} \right)} \)
を使うと．
\(\Large \displaystyle f_X (x) = \frac{1}{ B \left( \frac{m_1 }{2}, \frac{m_2 }{2}\right)}
\left( \frac{m_1}{m_2} \right) ^{ \frac{m_1}{2}}
\left( \frac{1}{ \frac{m_1}{m_2} x + 1} \right)^{ \frac{m_1 + m_2}{2}}
x^{ \frac{m_1}{2} -1}
\)
もしくは，
\(\Large \displaystyle f_X (x) = \frac{1}{ B \left( \frac{m_1 }{2}, \frac{m_2 }{2}\right)}
m_1^{ \frac{m_1}{2} }
m_2^{ \frac{ m_2}{2} }
\left( \frac{ 1}{m_1 x + m_2} \right)^{ \frac{m_1 + m_2}{2} }
x^{ \frac{m_1}{2} -1 }\)
となります．