エクセル関数
・誤差関数の逆関数
ERFINV(x)，という関数を定義すると，
\(\Large \displaystyle \begin{eqnarray} ERFINV(x) &=& \frac{1}{\sqrt{2}} NORMSINV \left\{ \frac{1+x}{2} \right\} \\
&=& NORMINV
\left\{ \frac{1+x}{2}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\} \\
\end{eqnarray} \)
という計算結果になり，前，前々ページにその証明を行いました．
ということは，
\(\Large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} NORMSINV \left\{ \frac{1+x}{2} \right\} = NORMINV \left\{ \frac{1+x}{2}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\} \)
つまり，
\(\Large \displaystyle \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{2}} NORMSINV \left\{ X \right\} = NORMINV \left\{ X, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}} \)
が成り立つことになります．これを考えていきましょう．
・NORMSINV
\(\Large \displaystyle Z = NORMSINV \left\{ X \right\} \)
とすると，
\(\Large \displaystyle X = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^Z exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt \)
\(\Large \displaystyle y^2 \equiv \frac{t^2}{2} \ \rightarrow \ y = \frac{t}{2} \ \rightarrow \sqrt{2} dy = dt \)
\(\Large \displaystyle \hspace{15pt} - \infty \longleftrightarrow t \longleftrightarrow \hspace{15pt} Z\)
\(\Large \displaystyle \hspace{15pt} - \infty \longleftrightarrow y \longleftrightarrow \frac{Z}{\sqrt{2}} \)
したがって，
\(\Large \displaystyle X = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^\frac{Z}{\sqrt{2}} exp ( - y^2 ) dy \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ \pi}} \int_{0}^\frac{Z}{\sqrt{2}} exp ( - y^2 ) dy \)
となります．
・NORMINV
\(\Large \displaystyle W = NORMINV \left\{ X, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\} \)
とすると，
\(\Large \displaystyle X = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{- \infty}^W exp \left( - \frac{(t - \mu )^2}{2 \sigma^2} \right) dt \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ \pi}} \int_{- \infty}^W exp \left( - t^2 \right) dt \)
それぞれ，X=，で表すことができたので，
\(\Large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ \pi}} \int_{0}^\frac{Z}{\sqrt{2}} exp ( - y^2 ) dy = \frac{1}{\sqrt{ \pi}} \int_{- \infty}^W exp \left( - t^2 \right) dt \)
が成り立つことができます．違いは積分範囲だけなので，
\(\Large \displaystyle \frac{Z}{\sqrt{2}} = W \)
となります．Z, W, を元に戻すと，
\(\Large \displaystyle \color{red}{\frac{1}{\sqrt{2}} NORMSINV \left\{ X \right\}= NORMINV \left\{ X, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}} \)
が成り立つことになります．