エクセル関数
・誤差関数の逆関数
・\(\Large \displaystyle ERFINV(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} NORMSINV \left\{ \frac{1+x}{2} \right\} \)
まず，
・NORMSDIST(x) ： 標準正規分布（μ=0, σ=1）の累積分布関数
\(\Large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^x exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt \)
・ERF(x) ： 誤差関数
\(\Large \displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^x exp \left( - t^2 \right) dt \)
両者を見るとよく似た関数形式であることがわかります．
まずは，NORMSDIST(x)，を変形させていきましょう．
\(\Large \displaystyle NORMSDIST(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^x exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left[ \int_{- \infty}^0 exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt + \int_{0}^x exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt\right] \)
第一項は規格化された正規分布の左半分となりますので，
\(\Large \displaystyle = 0.5 + \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^x exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt \)
第二項を変数変換すると，
\(\Large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^x exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt \)
\(\Large \displaystyle y^2 \equiv \frac{t^2}{2} \ \rightarrow \ y = \frac{t}{2} \ \rightarrow \sqrt{2} dy = dt \)
\(\Large \displaystyle \hspace{15pt} 0 \longleftrightarrow t \longleftrightarrow \hspace{15pt} x\)
\(\Large \displaystyle \hspace{15pt} 0 \longleftrightarrow y \longleftrightarrow \frac{x}{\sqrt{2}} \)
したがって，
\(\Large \displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^\frac{x}{\sqrt{2}} exp ( - y^2 ) dy \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{ \pi}} \int_{0}^\frac{x}{\sqrt{2}} exp ( - y^2 ) dy \)
となりますので，
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{2} ERF \left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)\)
とります，したがって，
\(\Large \displaystyle NORMSDIST(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + ERF \left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right] \)
との関係を導き出すことができます，まだここまでは逆関数が出てきていません．
ここで，
\(\Large \displaystyle W \equiv NORMSDIST(x) \)
\(\Large \displaystyle Z \equiv ERF \left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right) \)
とおくと，WとZは，
\(\Large \displaystyle W = \frac{1 +Z}{2} \)
次にそれぞれの逆関数を求めてみましょう．
\(\Large \displaystyle NORMSDIST^{-1}(W) = x \)
\(\Large \displaystyle ERF^{-1}(Z) = \frac{x}{\sqrt{2}} \)
となりますので，
\(\Large \displaystyle ERF^{-1}(Z) = \frac{1}{\sqrt{2}} NORMSDIST^{-1}(W) \)
\(\Large \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}} NORMSDIST^{-1}\left\{\frac{1 +x}{2} \right\} \)
となって，
\(\Large \displaystyle \color{red}{ERFINV(x) = ERF^{-1}(x)= \frac{1}{\sqrt{2}} NORMSDIST^{-1} \left\{\frac{1 +x}{2} \right\}} \)
を導き出すことができました．