回折-12

一個のスリットの回折-12

 

光の振動数を,ω,とすれば,その波形は,

\(\Large \sin ( \omega t - phase ) \)

となります.

 位相 = 光路÷波長×2π

となるので,

\(\Large phase = \frac{r}{\lambda} \times 2 \pi = k r \)

となります.ここで,k,は波数です.従って,

\(\Large \begin{eqnarray} \sin ( \omega t - phase ) &=& \sin \left[ \omega t - k \left( r_0 - \frac{xx_0}{r_0} \right) \right] \\
&=& Im \left[ exp \left\{ i \omega t - ik \left( r_0 - \frac{xx_0}{r_0} \right) \right\} \right] \\
&=& Im \left[ exp \left\{ i (\omega t - kr_0) \right\} \cdot exp \left( ik \frac{xx_0}{r_0} \right) \right] \\ \end{eqnarray} \)


となります.これを,-d/2~d/2まで積分すればよいので,

\(\Large \begin{eqnarray} u
&=& Im \left\{ e^{ i (\omega t - kr_0)} \cdot \displaystyle \int_{ -\frac{d}{2} }^{ \frac{d}{2} } exp \left[ ik \frac{xx_0}{r_0} \right] dx_0 \right \} \\
&=& Im \left\{ e^{ i (\omega t - kr_0)} \cdot \frac{r_0}{ikx} \left[ exp \left( ik \frac{xx_0}{r_0} \right) \right]_{- \frac{d}{2} }^{ \frac{d}{2}} \right \} \\
&=& Im \left\{ e^{ i (\omega t - kr_0)} \cdot \frac{r_0}{ikx} \left[ exp \left( ik \frac{xd}{2r_0} \right) - exp \left( - ik \frac{xd}{2r_0} \right) \right] \right \} \\ \end{eqnarray} \)

となります.ここで,

\(\Large e^{i \theta} - e^{-i \theta} = 2i \sin \theta \)

なので,

\(\Large \begin{eqnarray} u
&=& Im \left\{ e^{ i (\omega t - kr_0)} \cdot \frac{r_0}{ikx} 2i \sin \left( \frac{kdx}{2r_0} \right) \right\} \\
&=& \sin (\omega t - kr_0) \cdot \frac{2r_0}{kx} \sin \left( \frac{kdx}{2r_0} \right) \\ \end{eqnarray} \)

となります.最初のsinは振動項となるので,強度はそれ以降となり,

\(\Large \begin{eqnarray} I
& \propto & \left[ \frac{2r_0}{kx} \sin \left( \frac{kdx}{2r_0} \right) \right]^2 \\
&\propto & \frac{ \sin^2 \left( \frac{kdx}{2r_0} \right)}{\left( \frac{kdx}{2r_0} \right)^2} \\ \end{eqnarray} \)

となります. では実際にどのような波形になるかを試してみましょう.

このように,多重スリットの場合と同様の形状となります.(d=0.5 mm, λ=500 nm, L=10 m)

今回はフラウンフォーファ近似,というかなり大胆な近似を行いましたが,もう少し厳密に計算するとどうなるのでしょう?
きちんとした式を立てるのが非常に困難なので,Labviewにて数値計算を行ってみました.その結果が下の図です.

このように,細かい強度の変化は近似でつぶれてしまいますが,外観は近似でも適切であることがわかります.

 

l t r