回折-11

フレネル近似の妥当性

講義中に学生さんから質問がありました．

テイラー展開がおかしい

と．．．．それは，

\(\Large r = r_0 \sqrt{1+\frac{ -2xx_0 + x_0^2}{r_0^2}} \)

をテイラー展開を使って，

\(\Large \begin{eqnarray} r &=& r_0 \left[ 1+\frac{1}{2}\frac{ -2xx_0 + x_0^2}{r_0^2} \right] \\
&=& r_0 \left[ 1-\frac{xx_0}{r_0^2}+\frac{1}{2}\frac{ x_0^2}{r_0^2} \right] \end{eqnarray} \)

としたのですが，括弧内はｘではないと．．．．たしかに，(1+g(x))^a，の関数ですね．

では真面目に解いてみましょう（本来は二次元で計算する必要がありますが簡単のため一次元で（指数にすれば分離できる？））

・真面目に展開してみる

そもそもの式は，

\(\Large r^2 = r_0^2-2x \ x_0+x_0^2 \)

でした．ｘの項のみ分離して，

\(\Large r^2 = (r_0^2+x_0^2) \left( 1+ \frac{-2x \ x_0}{r_0^2+x_0^2} \right) \)

\(\Large r = (r_0^2+x_0^2)^{\frac{1}{2}} \left( 1+ \frac{-2x \ x_0}{r_0^2+x_0^2} \right)^{\frac{1}{2}} \)

となります．

\(\Large \left( 1+nx \right)^a \)のテイラー展開は，

\(\Large f(x)=\left( 1+nx \right)^a \hspace{120pt} f(0)=1\)

\(\Large f'(x)=na \left( 1+nx \right)^{a-1}\hspace{85pt} f'(0)=na\)

\(\Large f''(x)=n^2a(a-1) \left( 1+nx \right)^{a-2} \hspace{33pt} f'(0)=n^2a(a-1)\)

となりますので，

\(\Large f(x)\simeq 1+nax +\frac{1}{2} n^2a(a-1)+...\)

となります，一回微分までとると，

\(\Large \begin{eqnarray} r &\simeq& (r_0^2+x_0^2)^{\frac{1}{2}} \left( 1+ \frac{-2x \ x_0}{r_0^2+x_0^2} \frac{1}{2} x \right) \\
&=& (r_0^2+x_0^2)^{\frac{1}{2}} \left( 1- \frac{ x_0}{r_0^2+x_0^2} x \right)
\end{eqnarray} \)

ここで，r₀>>x₀とすると簡単になり，

\(\Large r \simeq r_0 \left( 1- \frac{ x_0}{r_0^2} x \right)\)

となり，フラウンフォーファ近似となります，フレネル近似は．．．どこかに行っちゃいました．．．．

・展開前にフラウンフォーファ近似をおこなう

これは，HechtのOpticsにも記載がありますが（式10.40あたり），先ほどと同じ式

\(\Large \begin{eqnarray} r^2 &=& r_0^2-2x \ x_0+x_0^2 \\
&=& r_0^2 \left(1-2 \frac{x x_0}{r_0^2} + \frac{x_0^2}{r_0^2} \right) \\
\end{eqnarray} \)

となり，第三項を無視すると（r₀ >> x₀なので）

\(\Large r = r_0 \left(1-2 \frac{x x_0}{r_0^2} \right)^{\frac{1}{2}} \)

となります，先ほどと同様のテイラー展開を行うと，

\(\Large \begin{eqnarray} r &\simeq& r_0 \left(1-2 \frac{x_0}{r_0^2} \frac{1}{2} x\right)\\
&=& r_0 \left(1- \frac{ x_0}{r_0^2} x\right) \\
\end{eqnarray} \)

となり，フラウンフォーファ近似は数学的にきちんとした計算であることがわかります．

なぜ？？？フレネル近似は．．．ですが，よくわかりません．

(1+X)^a，においてXが関数であろうがなかろうがX<<1であれば問題ないのかもしれません．

たしかに，

\(\Large r_0 = 10, \ x_0 = 0.1, \ x=1 \)とおいて計算すると，

と計算できて，いい感じの近似となっています．

も少しきちんと光学を勉強せねば．．．