１６ー７．電圧で考えてみる（RLC回路）: α = ω₀

コンデンサの電圧，です．

α = ω₀

0< t < t₀

\(\Large I_1(t) = \displaystyle \frac{V_0}{L} \cdot \ t \cdot e^{- \alpha t} \)

t₀ < t

\(\Large I_2(t) = \displaystyle \frac{V_0}{L} \left[ t \cdot e^{- \alpha t} - (t-t_0) \cdot e^{- \alpha (t-t_0)} \right] \)

V_C　：　コンデンサの電圧

0 < t < t0

\(\Large \displaystyle V_{C1} = \frac{1}{C} \int I(t) \ dt \)

\(\Large \displaystyle = \frac{1}{C} \cdot \int_0^t \frac{V_0}{L} \cdot \ \tau \cdot e^{- \alpha \tau} \)

\(\Large \displaystyle = \frac{V_0}{CL} \frac{1}{\alpha^2} \left[ 1 - e^{- \alpha \ t } ( 1 + \alpha t)\right] +D \)

初期条件は，

\(\Large \displaystyle t=0 \ : \ V_C(0)=0\)

\(\Large \displaystyle V_C(0)=0 = \frac{V_0}{CL} \frac{1}{\alpha^2} \left[ 1 - e^{- \alpha \ 0 } ( 1 + \alpha \ 0)\right] +D \)

\(\Large \displaystyle D = 0 \)

となるので，

\(\Large \displaystyle V_{C1} = \frac{V_0}{CL} \frac{1}{\alpha^2} \left[ 1 - e^{- \alpha \ t } ( 1 + \alpha t)\right] \)

となります．

t₀ < t

\(\Large I_2(t) = \displaystyle \frac{V_0}{L} \left[ t \cdot e^{- \alpha t} - (t-t_0) \cdot e^{- \alpha (t-t_0)} \right] \)

\(\Large V_C = \displaystyle \frac{1}{C} \int I_2(t) \ dt \)

この積分において，第一項は，0<t<t₀と同じ計算になります．．
第二項は，T=t-t₀，と置けば同じ積分となるので，

\(\Large \displaystyle V_{C2}= \frac{V_0}{CL} \frac{1}{\alpha^2} \left[ 1 - e^{- \alpha \ t } ( 1 + \alpha t)\right] - \frac{V_0}{CL} \frac{1}{\alpha^2} \left[ 1 - e^{- \alpha \ (t-t_0) } \{ 1 + \alpha (t-t_0) \} \right] + D\)

となります．初期条件は，

\(\Large t = t_0 : \)

先に述べたように，右辺第一項は，VC(t0)となるので，右辺第二項，三項，のみを考えればいいので，

\(\Large \displaystyle V_{C2}(t_0) = 0 = - \frac{V_0}{CL} \frac{1}{\alpha^2} \left[ 1 - e^{- \alpha \ 0 } ( 1 + \alpha \ 0 )\right] + D \)

\(\Large \displaystyle = - \frac{V_0}{CL} \frac{1}{\alpha^2} \left[ 1 -1 \right] + D \)

\(\Large \displaystyle D = 0 \)

となります．したがって，

\(\Large \displaystyle V_{C2}= \frac{V_0}{CL} \frac{1}{\alpha^2} \left[ 1 - e^{- \alpha \ t } ( 1 + \alpha t)\right] - \frac{V_0}{CL} \frac{1}{\alpha^2} \left[ 1 - e^{- \alpha \ (t-t_0) } \{ 1 + \alpha (t-t_0) \} \right] \)

となり，ステップオフの場合は，

　第一項　：　最初のステップオンの際の波形（たとえば，0→1）

　第二項　：　t=t₀，において，1→0，のように，逆のステップを入力した波形

なので，ステップオフ後，の波形は，

　ステップオンの波形の残り　＋　マイナスのステップの波形　の和

となるわけです．

実際に，LTspice，でシミュレートしてみましょう．ここ，と同様に，

V₀ : 1 V
R : 10 Ω
L : 0.1 H
C : 0.1 F

とすると，

\(\Large \displaystyle　\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0.1 \times 0.1} } = 10 \ (1/s) \)

\(\Large \displaystyle　\alpha \equiv \frac{10}{2 \times 0.1} = 50 \ (1/s) \)

となり，α > ω0，の条件となります．　

\(\Large \displaystyle \omega = \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2 } = 48.99 (rad/s) = 7.80 Hz \)

となり，LTspiceでシミュレートすると，

となります．式と当てはめてみると，

と一致することがわかります（全領域で）．

青点線，が右辺第二項，で右辺第一項との和が，シミュレーションと一致することがわかります．