１５ー１ー１２．ステップ関数（RLC回路）

α < ω₀

平方根内が虚数となるので，

\(\Large \displaystyle \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2} = j \sqrt{ \omega_0^2 - \alpha^2} \equiv j \omega \)

\(\Large \displaystyle I(t) = e^{- \alpha (t - t_0)} \cdot \left[ A \cdot exp \left\{ j \omega (t-t_0) \right\} + B \cdot exp \left\{ - j \omega (t-t_0) \right\} \right] \)

\(\Large \displaystyle = A \cdot exp \left\{ (-\alpha + j \omega) (t-t_0) \right\} + B \cdot exp \left\{ (-\alpha- j \omega) (t-t_0) \right\} \)

t0 < t，の領域においては，微分値は，

\(\Large \displaystyle I'(t) = (-\alpha + j \omega) \ A \cdot exp \left\{ (-\alpha + j \omega) (t-t_0) \right\} + (-\alpha- j \omega) \ B \cdot exp \left\{ (-\alpha- j \omega) (t-t_0) \right\} \)

となりますが，ここで，

\(\Large \displaystyle \color{purple}{I(t_0) = e^{- \alpha t_0} \cdot \frac{V_0}{ \omega L}\ sin ( \omega t_0) }\)

\(\Large \displaystyle \color{purple}{I'(t_0) = e^{- \alpha t_0} \cdot \frac{V_0}{ \omega L} \left\{ \omega \cdot cos ( \omega t_0) - \alpha \cdot sin \ (\omega t_0) \right\}} \)

と計算してはいけないようです．

Copilotによると，
この式は 電源がオンの状態を前提に導出された解です。 したがって、didt(t0)\frac{di}{dt}(t_0)dtdi​(t0​) は「電源がまだあると仮定した場合の傾き」。
電源オフ後の急変は考慮していません。
この式は 電源が切れた瞬間の新しい条件を反映。
電源がなくなり、コンデンサ電圧が主役になるため、didt(t0)\frac{di}{dt}(t_0)dtdi​(t0​) は大きくなる。
ということのよう．

したがって，

\(\Large \displaystyle V_C = \frac{1}{C} \ \int_0^{t_0} I(t) \ dt \)

\(\Large \displaystyle I'(t_0) = - \frac{R \cdot I(t_0) + V_C }{L} \)

から，電流の微分値を求めていく必要があります．

やり直します．