１５ー１ー０５．ステップ関数（RLC回路）

・α > ω₀

平方根内が実数となるので，

\(\Large \displaystyle \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2} = \omega\)

とします．電流は，

\(\Large \displaystyle I(t) = e^{ - \alpha t} \cdot \left[ A \cdot e^{ \omega t}+ B \cdot e^{ - \omega t} \right] \)

となります．

初期条件は，ここ，に書いたように，

\(\Large I(0) = 0 \)

\(\Large \displaystyle I'(0) = \frac{V_0}{L} \)

となりますので，

\(\Large \displaystyle I(0) = e^{ - \alpha \cdot 0} \cdot \left[ A \cdot e^{ \omega \cdot 0}+ B \cdot e^{ - \omega \cdot 0} \right] = A + B = 0\)

\(\Large \displaystyle I'(t) = - \alpha \cdot e^{ - \alpha t} \cdot \left[ A \cdot e^{ \omega t}+ B \cdot e^{ - \omega t} \right] +
e^{ - \alpha t} \cdot \omega \cdot \left[ A \cdot e^{ \omega t}- B \cdot e^{ \omega t} \right] \)

\(\Large \displaystyle I'(0) = - \alpha \cdot e^{ - \alpha \cdot 0} \cdot \left[ A \cdot e^{ \omega \cdot 0}+ B \cdot e^{ - \omega \cdot 0} \right] +
e^{ - \alpha \cdot 0} \cdot \ \omega \cdot \left[ A \cdot e^{ \omega \cdot 0}- B \cdot e^{ - \omega \cdot 0} \right] \)

\(\Large \displaystyle = - \alpha \cdot ( A + B) + \ \omega \cdot ( A - B) = \ \omega \cdot ( A - B) = \frac{V_0}{L}\)

\(\Large \displaystyle A + B =0 \)

\(\Large \displaystyle A - B = \frac{V_0}{ j \ \omega \ L}\)

から，

\(\Large \displaystyle A = \frac{1}{2} \frac{V_0}{ \ \omega \ L}\)

\(\Large \displaystyle B = - \frac{1}{2} \frac{V_0}{ \ \omega \ L}\)

したがって，

\(\Large \displaystyle I(t) = e^{- \alpha t} \cdot \frac{ 1}{2}\frac{V_0}{ \omega L}\left[ e^{ \omega t} - e^{ - \omega t} \right] \)

となります．

ここで，双曲線関数，

\(\Large \displaystyle sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{ 2} \)

から，，

\(\Large \displaystyle I(t) = \frac{ 1}{2}\frac{V_0}{ \omega L}　e^{- \alpha t} \cdot \ sinh \ ( \omega t) \)

となり，上凸の減衰曲線となります．

じっさいに，LTspice，でシミュレートしてみましょう．

V₀ : 1 V
R : 10 Ω
L : 0.2 H
C : 0.1 F

とすると，

\(\Large \displaystyle \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0.2 \times 0.1} } = 7.07 \ (1/s) \)

\(\Large \displaystyle \alpha \equiv \frac{10}{2 \times 0.2} = 25 \ (1/s) \)

となり，α > ω0，の条件となります．　

\(\Large \displaystyle \omega = \sqrt{ \omega_0^2 - \alpha^2 } = 23.98 (rad/s) = 3.82 Hz \)

となり，LTspiceでシミュレートすると，

となります．式と当てはめてみると，

と一致することがわかります（0 < t < t0，の範囲で）．

次は，α = ω0，の条件で計算していきましょう．