円周・円の面積の求め方，楕円の面積の求め方

次は積分で，楕円の面積を考えていきます．

・楕円の面積

楕円の公式から，

\( \Large \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = r^2 \)

ですので，

\( \Large \displaystyle y = b \ \sqrt{ r^2 - \frac{x^2}{a^2}} = b \cdot r \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{x}{a \cdot r} \right)^2} \)

1/4円を考えると，このｙの値をｘについて，0～ｒまで積分すればいいことになります．

\( \Large \displaystyle S_{1/4} = \int_0^ r b \cdot r \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{x}{a \cdot r} \right)^2} dx \)

ここで，

\( \Large \displaystyle x = a \cdot r \cdot cos \ \theta \)

とすると，

\( \Large \displaystyle \frac{x}{a \cdot r} = cos \ \theta \)

\( \Large \displaystyle dx = - a \cdot r \cdot sin \ \theta \ d \theta \)

積分範囲は，

\( \Large \displaystyle 0 \sim x \sim r \)

\( \Large \displaystyle \frac{ \pi}{2} \sim \theta \sim 0 \)

となるので，

\( \Large \displaystyle S_{1/4} = - b \ \int_{\frac{ \pi}{2}}^0 r \cdot \sqrt{1 - cos^2 \ \theta} a \cdot \cdot r sin \ \theta \ d \theta \)

\( \Large \displaystyle = - a \cdot b \cdot r^2 \int_{\frac{ \pi}{2}}^0 sin^2 \ \theta \ d \theta \)

\( \Large \displaystyle = a \cdot b \cdot r^2 \int_0^{\frac{ \pi}{2}} sin^2 \ \theta \ d \theta \)

\( \Large \displaystyle =a \cdot b \cdot r^2 \int_0^{\frac{ \pi}{2}} \frac{1 - cos \ 2 \ \theta}{2} \ d \theta \)

\( \Large \displaystyle = a \cdot b \cdot r^2 \left[ \frac{ \theta}{2} -\frac{1}{2} sin \ 2 \theta \right]_0^{\frac{ \pi}{2}}\)

\( \Large \displaystyle = a \cdot b \cdot r^2 \frac{ \pi}{4} \)

これが1/4円の面積となるので，

\( \Large \displaystyle S = 4 a \cdot b \cdot \cdot r^2 \frac{ \pi}{4} = a \cdot b \cdot \pi r^2 \)

となり，円の面積のab倍となることがわかります．