像分布関数 (PSF , Point spread function) について-07

以下のようなモデルを考えます.

各点から発せられる波の結像面での波の大きさは,

\( \Large cos \left[ k \ (r_0 - x sin \phi ) - \omega t + \theta_0 \right] \)

となります.この導出の仕方は,ここ,を参考にしてみてください.
これを,-w/2からw/2まで積分するので,

\( \Large \displaystyle \int_{-\frac{w}{2}}^{ \frac{w}{2} } cos \left[ k \ (r_0 - x sin \phi ) - \omega t + \theta_0 \right] dx \)

すればいいですね.
ここで,関係ない項目をまとめて,

\( \Large R \equiv k r_0 - \omega t + \theta \)

とすれば,

\( \Large \displaystyle \int_{-\frac{w}{2}}^{ \frac{w}{2} } cos \left[ R - k \ sin \ \phi x \right] dx \)

\( \Large \hspace{ 10pt } y\equiv R - k \ sin \ \phi x \)

\( \Large \hspace{ 10pt } dy = - k \ sin \ \phi dx \)

\( \Large \hspace{ 10pt } \begin{pmatrix}
-\frac{w}{2} \hspace{ 10pt }\sim \hspace{ 10pt }x \hspace{ 10pt } \sim \hspace{ 10pt } \frac{w}{2} \\
R + \frac{kw}{2} sin \phi \sim y \sim R - \frac{kw}{2} sin \phi
\end{pmatrix} \)

\( \Large = \displaystyle \int_{R + \frac{kw}{2}}^{ R - \frac{kw}{2} } \frac{1}{-k \ sin \phi }cos y dy \)

\( \Large = \frac{1}{-k \ sin \phi } \left[sin \left( R-\frac{kd}{2} sin \phi \right) -sin \left( R+\frac{kd}{2} sin \phi \right) \right] \)

\( \Large = \frac{1}{k \ sin \phi } 2 \ sin (kw \ sin \phi ) \ cos R \)

\( \Large = \frac{1}{k \ sin \phi } 2 \ sin (kw \ sin \phi ) \ cos (kr_0 -\omega t + \theta) \)

この式の,

\( \Large \frac{2 \ sin (kw \ sin \phi )}{k \ sin \phi } \)

部分が振幅となり,この二乗が強度となりますので,前回導出した波形と同じ形となります.

つまり,
 二つの開口部から発せられた波をレンズを通して結像させた場合
 一つの開口部から発せられた波

というのは同じ(ような)強度分布になる,と言えますね.

さて,一件落着,と思ったのですが.....
ふと....まだ納得していない点があることに気づきました....
それは,次のページに...

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