回折-21

微小開口からの回折-21

 

次に,微小開口からの回折を計算してみましょう.

この計算は,

 Optics: International Edition, Eugene Hecht
 Theory and Practice of Scanning Optical Microscopy, Tony Wilson, Colin Sheppard
らの本を参考にしました.また,藤田先生(阪大・工)にもいろいろ教えていただきました,ありがとうございます.

一般論

まずは,適当な形状を通過する光を考えましょう.

XY平面に任意の形状の穴を設定します.距離Zだけ離れた投影面の任意の座標(x,y)の光強度を求めます.

光の振動数を,ω,とすれば,その波形は,

\(\Large \sin ( \omega t - phase ) \)

となります.

 位相 = 光路÷波長×2π

となるので,

\(\Large phase = \frac{r}{\lambda} \times 2 \pi = k r \)

となります.ここで,k,は波数です.従って,

\(\Large \sin ( \omega t - phase ) = \sin ( \omega t - k r ) \)

となります.光強度をE0,とすると,投影面での強度は距離zに反比例しますので,任意の開口の一部のエリアdSからの発せられる光は,

\(\Large dE = \frac{E_0}{z} \sin ( \omega t - k r ) ds \)

となります.指数表示に変換すると,

\(\Large dE = \frac{E_0}{z} e^{i ( \omega t - k r )} ds \)

となります.

次に,開口の(X, Y)から投影面(x,y)の2点間の距離を求めましょう.距離rは,

\(\Large r = \sqrt{ (X-x)^2 + (Y-y)^2 + z^2} \)

となります.ここで,開口面の原点から投影面(x,y)の2点間の距離Rは,

\(\Large R = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \)

となります.したがってrは,

\(\Large r = R \sqrt{ 1+\frac{X^2+Y^2}{R^2}-2 \frac{Xx+Yy}{R^2}} \)

となります.ここで,距離Rが開口の大きさ,X,Yに比べて非常に大きければ,第二項が無視できますので,

\(\Large r = R \sqrt{ 1-2 \frac{Xx+Yy}{R^2}} \)

となります.これを展開すると,

\(\Large r = R (1- \frac{Xx+Yy}{R^2}) \)

と簡単にできるので,開口部で積分すると,

\(\Large \begin{eqnarray} E
&=& \iint_{Aperture} \frac{E_0}{z} e^{i ( \omega t - k R (1- \frac{Xx+Yy}{R^2}) )} ds \\
&=& \frac{E_0 e^{i ( \omega t - k R )}}{z} \iint_{Aperture} e^{ ik \frac{(Xx+Yy)}{R}} ds \\
\end{eqnarray} \)

となり,この二重積分の部分を計算すればよいのです.

では,具体的な開口形状について計算していきましょう.

 

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